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函数\(f(x)= \dfrac{ \sqrt{1-|x-1|}}{a^{x}-1}(a > 0\)且\(a\neq 1)\)的定义域为________．

已知函数\(f\left( x \right)=\sin \dfrac{\pi x}{2}\left( x\in R \right).\)任取\(t\in R\)， 若函数\(f\left( x \right)\)在区间\(\left[ t,t+1 \right]\)上的最大值为\(M\left( t \right)\)， 最小值为\(m\left( t \right)\)， 记\(g\left( t \right)=M\left( t \right)-m\left( t \right)\)．

\((1)\)求函数\(f\left( x \right)\)的最小正周期及对称轴方程；

\((2)\)当\(t\in \left[ -2,0 \right]\)时， 求函数\(g\left( t \right)\)的解析式；

\((3)\)设函数\(h\left( x \right)={{2}^{\left| x-k \right|}}\)，\(H\left( x \right)=x\left| x-k \right|+2k-8\)，其中实数\(k\)为参数， 且满足关于\(t\)的不等式\(\sqrt{2}k-4g\left( t \right)\leqslant 0\)对\(t\in \left[ -2,0 \right]\)有解， 若对任意\({{x}_{1}}\in \left[ 4,+\infty \right)\)， 存在\({{x}_{2}}\in \left( -\infty ,4 \right]\)， 使得\(h\left( {{x}_{2}} \right)=H\left( {{x}_{1}} \right)\)成立， 求实数\(k\)的取值范围．

已知函数\(f(x)=\dfrac{{{4}^{x}}}{2+{{4}^{x}}}.\)则\(f\left( \dfrac{1}{2018}\right)+f\left( \dfrac{2}{2018}\right)+f\left( \dfrac{3}{2018}\right)+⋯+f\left( \dfrac{2016}{2018}\right)+f\left( \dfrac{2017}{2018}\right) =\)  \((\)    \()\)

设函数\(f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{2}-1,x\geqslant 0, \\ \dfrac{1}{x},x < 0, \end{cases}\)若\(f(f(a))=- \dfrac{1}{2}\)，则实数\(a=\)________．

\((1)\)求实数\(a\)的范围，使得对任意实数\(x\)和任意\(\theta \in [0,\dfrac{\pi }{2}]\)恒有\({{(x+3+2\sin \theta \cos \theta )}^{2}}+{{(x+a\sin \theta +a\cos \theta )}^{2}}\geqslant \dfrac{1}{8}\)

\((2)\)已知关于\(x\)的函数\(f(x)=a{{x}^{2}}+2bx+4c\)，\((a,b,c\in R)\)

\((\)Ⅰ\()\) 若\(a+c=0\)，\(f(x)\)在\([-2,2]\)上的最大值为\(\dfrac{2}{3}\)，最小值为\(-\dfrac{1}{2}\)，求证：\(\left| \dfrac{b}{a} \right|\leqslant 2\)；

\((\)Ⅱ\()\) 当\(b=4,{ }c=\dfrac{3}{4}\)时，对于给定的负数\(a\)，有一个最大的整数\(M(a)\)，使得\(x\in [0,M(a)]\)时，都有\(\left| f(x) \right|\leqslant 5\)，求\(a\)为何值时，\(M(a)\)最大，求这个最大值\(M(a)\)，证明你的结论．

已知函数\(f(x)=2^{x}-2^{ax+b}\)，且\(f(1)= \dfrac{3}{2}\)，\(f(2)= \dfrac{15}{4}\)．

\((1)\)求\(a\)、\(b\)的值；

\((2)\)判断\(f(x)\)的奇偶性；

\((3)\)试判断函数\(f(x)\)的单调性，并证明．