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记\(S_{n}\)是等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，若\(S_{5}=-35\)，\(S_{7}=-21.\)

\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并求\(S_{n}\)的最小值；

\((2)\)设\(b_{n}=\left|{a}_{n}\right|\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)

“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为\(2km\)，以后每秒钟通过的路程都增加\(2km\)，在达到离地面\(240km\)的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是__________秒．

习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到\(2025\)年中国的汽车总销量将达到\(3500\)万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台\(16200\)元，第一年每台设备的维修保养费用为\(1100\)元，以后每年增加\(400\)元，每台充电桩每年可给公司收益\(8100\)元．

\((1)\)每台充电桩第几年开始获利？

\((2)\)每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．

记数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，在①\({{a}_{1}}=-7\)，\({{a}_{2}}=-6\)，\({a}_{n+1}=k{a}_{n}+1(n\in{\boldsymbol{\rm N}}_{+},k\in\boldsymbol{\rm R})\)；②若\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)为等差数列，且\({{a}_{3}}=-5\)，\({{S}_{6}}=2{{S}_{3}}+9\)；③\({S}_{n}=\dfrac{1}{2}{n}^{2}-\dfrac{15}{2}n(n\in{\boldsymbol{\rm N}}_{+}).\)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

在数列\(\left\{\begin{array}{l}a_{n}\end{array}\right\}\)中，______\(.\)记\({T}_{n}=|{a}_{1}|+|{a}_{2}|+|{a}_{3}|+⋯+|{a}_{n}|\)，求\(T_{20}.\)

已知等差数列\(\left\{\begin{array}{l}a_{n}\end{array}\right\}\)的首项为\(17\)，公差为\(-6\)，求\(\left\{\left|{{a}_{n}}\right|\right\}\)的前\(10\)项的和为\((\quad)\)

若两个等差数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和分别为\(S_{n}\)，\(T_{n}\)，且\(\dfrac{{S}_{n}}{{T}_{n}}=\dfrac{7n+45}{n+3}(n\in{N}^{*})\)，则使得\(\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}\)为整数的正整数\(n\)的个数是\((\quad)\)

等差数列\(\left\{\begin{array}{l}a_{n}\end{array}\right\}\)的公差不为零，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{7}\)成等比数列，则\(\dfrac{S_{6}}{a_{5}}\)的值为\((\quad)\)

一个等差数列共\(2n+1\)项，其中奇数项之和为\(305\)，偶数项之和为\(300\)，则该数列的第\(n+1\)项是__________.