选择章节

已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正数，且\(\dfrac{3{a}_{1}}{2}\)，\(\dfrac{a_{3}}{4}\)，\(a_{2}\)成等差数列，则\(\dfrac{{a}_{20}+{a}_{19}}{{a}_{18}+{a}_{17}}=(\)     \()\)

《推背图》是中华预言第一奇书，传说它是唐太宗李世民为推算大唐国运，下令当时两位著名的道士李淳风和袁天罡编写的\(.\)融合了易学、天文、诗词、谜语、图画为一体\(.\)其实该书很可能是一本出自民国初期的伪书，很可能是伪国学\(!\)但在这本书中的第二象中，有一个有趣的数学问题：在一个盘子中摆满了李子，“累累硕果，莫明其数”\(.\)现假设有一个盘子，摆满了李子，最下一层有\(8\)行\(8\)列李子，从第二层开始，每一层李子的个数都是下一层李子的个数的一半，最上层有一个李子，请问盘子中总共有李子的个数为：\((\quad)\)

在等比数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)中，\({{a}_{1}}+{{a}_{3}}=1\)，\({{a}_{5}}+{{a}_{7}}+{{a}_{9}}+{{a}_{11}}=20\)，则\({{a}_{1}}=\)__________.

定义：如果数列\(\{a_{n}\}\)的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称\(\{a_{n}\}\)为“三角形”数列，对于“三角形”数列\(\{a_{n}\}\)，如果函数\(y=f(x)\)使得\({b}_{n}=f({a}_{n})\)仍为一个“三角形”数列，则称\(y=f(x)\)是数列\(\{a_{n}\}\)的“保三角形函数”\((n\in{N}^{*})\)

\((1)\)已知\(\{a_{n}\}\)是首项为\(2\)，公差为\(1\)的等差数列，若\(f(x)=k^{x}\)，\((k>1)\)是数列\(\{a_{n}\}\)的“保三角形函数”，求实数\(k\)的取值范围；

\((2)\)已知数列\(\{c_{n}\}\)的首项为\(2010\)，\(S_{n}\)是数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和，且满足\(4{S}_{n+1}-3S_{n}=8040\)，证明：\(\{c_{n}\}\)是“三角形”数列．

中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿\(5\)斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟\(a\)升，\(b\)升，\(c\)升，\(1\)斗为\(10\)升，则下列判断正确的是\((\quad)\)

在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(4a_{1}\)，\(2a_{4}\)，\(a_{7}\)成等差数列，则\(\dfrac{a_{3}\text{+}a_{5}}{a_{6}\text{+}a_{8}}\text{=}\)__________.

已知等差数列\(\{a_{n}\}\)和等比数列\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{1}=b_{1}=1\)，\(a_{2}+a_{4}=10\)，\(b_{2}b_{4}=a_{5}.\)

\((I) \)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(;\)

\((II)\)求和：\(b_{1}+b_{3}+b_{5}+\cdots+b_{2n-1}.\)