题型：解答题 题类：期中考试 难易度：中档
新年份：2020
题型：解答题 题类：期中考试 难易度：中档
新年份：2020
已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，\({{a}_{1}}=2\)，\({{S}_{n+1}}=3{{S}_{n}}+2\)，\(n\in {{N}^{*}}\)．
\((1)\)证明：数列\(\left\{ {{S}_{n}}+1 \right\}\)为等比数列；
\((2)\)已知曲线\({{C}_{n}}:{{x}^{2}}+\left( 19-{{a}_{n}} \right){{y}^{2}}=1\)，若\({{C}_{n}}\)为椭圆，求\(n\)的值；
\((3)\)若\({{b}_{n}}=\left( \dfrac{{{a}_{n}}}{2} \right)\times {{\log }_{3}}\left( \dfrac{3{{a}_{n}}}{2} \right)\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．
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＜k对任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由． 