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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}满足S_n+b_n+1=b_n²，n∈N^*．
（1）若b_n=2ⁿ，且S_m=8，求正整数m的值；
（2）若数列{a_n}，{b_n}均是等差数列，求b₁的取值范围；
（3）若数列{a_n}是等比数列，公比为q，且-a₁＞q＞b₁≥1，是否存在正整数k，使b₁，，b_k成等差数列，若存在，求出一个k的值，若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，0＜a_n＜1．
（1）若，求证：a₁，a₂，a₃必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；
（2）若，求证：a₁，a₂，…，a_n必可以被分为m组（1≤m≤k），使得每组所有数的和小于1．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

已知各项均为正数的等差数列{a_n}满足：a₃=3a₁，且a₁，4，2a₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{a_n}的前项和为S_n，令b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，首项为2．若对任意的正整数m，n恒成立．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求证：{a_n}是等比数列；
（3）设数列{b_n}满足，若数列，，…，（n₁＜n₂＜…＜n_t，t∈N^*）为等差数列，求t的最大值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

数列{a_n}中，对任意给定的正整数n，存在两个不相等的正整数i，j（i＜j），使得a_n=a_ia_j，则称数列{a_n}具有性质P．
（1）若仅有3项的数列1，a，b具有性质P，求a+b的值；
（2）求证：数列{}具有性质P；
（3）正项数列{b_n}是公比不为1的等比数列，若具有性质P，则数列{b_n}至少有多少项？请说明理由．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

已知数列{a_n}中，a₁=4，，，记．
（1）证明：a_n＞2；
（2）证明：；
（3）证明：．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

已知{b_n}为正项等比数列，b₂=2，b₄=8，且数列{a_n}满足：a_nb_n-1=log₂b_n．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和T_n，并求使得（-1）ⁿλ＜T_n恒成立λ的取值范围．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，若对于任意m，n∈N^*，且m≠n，都有．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列
（2）若数列{c_n}满足，且等差数列{a_n}的公差为，存在正整数p，q，使得a_p+c_q，求|a₁|的最小值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

已知数列{a_n}的通项公式为，n∈N^*，n∈N^*．记S_n=．
（1）求S₁，S₂的值；
（2）求证：对任意正整数n，为定值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2019

考虑集合{1，2，3，…，n}的所有r（1≤r≤n，n∈N*）元子集及每一个这样的子集中的最小数，用F（n，r）表示这些最小的数的算术平均数．
（1）求F（6，3）；
（2）求F（n，r）．

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