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十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的\(.\)明万历十二年\((\)公元\(1584\)年\()\)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响\(.\)十二平均律的数学意义是：在\(1\)和\(2\)之间插入\(11\)个正数，使包含\(1\)和\(2\)的这\(13\)个数依次成递增的等比数列\(.\)依此规则，插入的第四个数应为__________.

已知数列\(\left\{\begin{array}{l}a_{n}\end{array}\right\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}+1.\)

\((1)\)求数列\(\left\{\begin{array}{l}a_{n}\end{array}\right\}\)的通项公式\(a_{n}\)；

\((2)\)若\(S_{n}=-127\)，求\(n.\)

十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间\([0,1]\)均分为三段，去掉中间的区间段\((\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3})\)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间\([0,\dfrac{1}{3}]\)，\([\dfrac{2}{3},1]\)分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段\(.\)操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于\(\dfrac{9}{10}\)，则需要操作的次数\(n\)的最小值为\((\quad)(\)参考数据：\(\lg 2=0.3010\)，\(\lg 3=0.4771)\)

设\({{S}_{n}}\)为数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和，满足\(2{{S}_{n}}=3{{a}_{n}}-{{a}_{1}}\)，且\({{a}_{2}}\)，\({{a}_{3}}+2\)，\({{a}_{4}}-8\)成等差数列．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{n}{{{a}_{n}}}\)，求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}.\)

设数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，___________从①\({{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-2\)；②\({{S}_{n}}={{2}^{n+1}}-2\)；③数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)是各项和均为正数递增数列，\(a_{n+1}^{2}={{a}_{n+2}}\cdot{{a}_{n}}\)，\({{a}_{3}}=8,{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}-4\)成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答以下两个问题.

\((1)\)求数列\(\left\{{{a}_{n}}\right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=lo{{g}_{2}}{{a}_{n}}\)，求数列\(\left\{{{a}_{2n+1}}+{{b}_{n}}\right\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)