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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，\(a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_{n}(n\in N^{*})\)，
\((Ⅰ)\)证明：数列\(\{a_{n+1}-a_{n}\}\)是等比数列；
\((Ⅱ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

设等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a_{5}+a_{13}=34\)，\(S_{3}=9.\)
\((Ⅰ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)及前\(n\)项和公式\(S_{n}\)
\((Ⅱ)\)求证：\(\dfrac{1}{S_{1}}+\dfrac{1}{S_{2}}+…+\dfrac{1}{S_{n}}< 2.\)

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，满足\(S_{n}+a_{n}=1.\)
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)记\(b_{n}=\dfrac{a_{n}}{(a_{n}+1)(a_{n+1}+1)}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2021

设等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差为\(d\)，\(d\)为整数，前\(n\)项和为\(S_{n}\)，等比数列\(\{b_{n}\}\)的公比为\(q\)，已知\(a_{1}=b_{1}\)，\(b_{2}=2\)，\(d=q\)，\(S_{10}=100\)，\(n\in N^{*}.\)
\((Ⅰ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((Ⅱ)\)求数列\(\{a_{n}+b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)；
\((Ⅲ)\)设\(c_{n}=\sqrt{\dfrac{a_{n}-n}{a_{n}^{2}}}\)，求证：\(c_{1}+c_{2}+c_{3}+⋅⋅⋅+c_{n}< \sqrt {n}.\)

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年份：2021

设\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(\{b_{n}\}\)是等比数列，公比大子\(0\)，且\(a_{1}=b_{1}=3\)，\(b_{2}=a_{3}\)，\(b_{3}=4a_{2}+3.\)
\((Ⅰ)\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((Ⅱ)\)设数列\(\{c_{n}\}\)满足\(c_{n}=\begin{cases}{1,n\text{为奇数}}\\ {b_{\frac{n}{2}},n\text{为偶数}}\end{cases}\)，求\(\sum\limits_{i=1}^{2n}a_{i}c_{i}.\)

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年份：2021

已知公差不为\(0\)的等差数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{3}=5\)，且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{5}\)成等比数列．
\((Ⅰ)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((Ⅱ)\)设\(b_{n}=\dfrac{1}{3^{n}}-\dfrac{1}{a_{n}a_{n+1}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}.\)

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年份：2021

已知\(\{a_{n}\}\)为等差数列，\(\{b_{n}\}\)为等比数列，且满足\(a_{1}=1\)，\(b_{1}=2\)，\(a_{4}=4(a_{3}-a_{2})\)，\(b_{4}=4(b_{3}-b_{2}).\)
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)对任意的正整数\(n\)，设\(c_{n}=a_{n}b_{n}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}.\)

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年份：2021

在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=3\)，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，各项均为正数的等比数列\(\{b_{n}\}\)中，\(b_{1}=1\)，且满足\(b_{3}=S_{2}\)，\(a_{1}+a_{2}+b_{1}=10.\)
\((Ⅰ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((Ⅱ)\)若数列\(\{\dfrac{1}{S_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，证明：\(T_{n}< \dfrac {2}{3}.\)

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年份：2021

等比数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}>0\)，\(a_{1}=1\)，且\(3a_{2}\)，\(\dfrac{1}{2}a_{4}\)，\(2a_{3}\)成等差数列．
\((Ⅰ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((Ⅱ)\)记\(b_{n}=\dfrac{2\log_{3}a_{n}+1}{a_{n}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，求\(S_{n}.\)

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年份：2021

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，公比为\(2\)的等比数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，并且满足\(a_{n+1}\log_{2}(T_{n}+1)=2S_{n}.\)
\((Ⅰ)\)求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((Ⅱ)\)已知\(c_{n}=\dfrac{a_{n-1}a_{2^{n}}+1}{T_{n}T_{n+1}}\)，规定\(a_{0}=0\)，若存在\(n\in N^{*}\)使不等式\(c_{1}+c_{2}+c_{3}+⋅⋅⋅+c_{n}< 1-\dfrac{λ}{n}\)成立，求实数\(λ\)的取值范围．

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