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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2020

正项等比数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(a _{1} =1\)，\(S _{2} +4S _{4} =S _{6}\)．
\((1)\)求\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{a _{n} +n\}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，已知\(a _{1} =2\)，\(6S _{n} =3na _{n+1} -2n(n+1)(n+2)\)，\(n∈N*\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)证明：\( \dfrac {1}{a_{1}}+ \dfrac {1}{a_{2}}+…+ \dfrac {1}{a_{n}} < \dfrac {5}{6}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

等差数列\(\{a _{n} \}\)和等比数列\(\{b _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} +…+a _{n} b _{n} =(n-1)\boldsymbol{⋅}2 ^{n+1} +2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{c _{n} \}\)满足：\(b _{n} c _{n} =a _{n} +c _{n}\)，求证：\(c _{1} +c _{2} +…+c _{n} < 3\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(a _{n} = \sqrt {3}a_{n-1}+ \sqrt {3}-1(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)，\(b _{n} =a _{n} +1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\{b _{n} \}\)是等比数列；
\((\)Ⅱ\()\)已知\(c _{n} = \dfrac {2a_{n}}{[2( \sqrt {3})^{n-1}-1](2n-1)(2n+1)}\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)满足\(S _{n+1} =2S _{n} +n+1\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)记数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，证明：\(T_{n} < \dfrac {5}{3}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知正项等差数列\(\{a _{n} \}\)与等比数列\(\{b _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(b _{2} =4\)，且\(a _{2}\)既是\(a _{1} +b _{1}\)和\(b _{3} -a _{3}\)的等差中项，又是其等比中项．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)记\(c _{n} = \begin{cases} { \dfrac {1}{a_{n}a_{n+2}},n=2k+1} \\ {a_{n}\cdot b_{n},n=2k}\end{cases}\)，其中\(k∈N*\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(2n\)项和\(S _{2n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

数列\(\{a _{n} \}\)，\(a _{1} =1\)，\(a _{n+1} =2a _{n} -n ^{2} +3n(n∈N ^{*} ).\)
\((\)Ⅰ\()\)是否存在常数\(λ\)，\(μ\)，使得数列\(\{a _{n} +λn ^{2} +μn\}\)是等比数列，若存在，求出\(λ\)，\(μ\)的值，若不存在，说明理由．
\((\)Ⅱ\()\)设\(b _{n} = \dfrac {1}{a_{n}+n-2^{n-1}},S_{n}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+…+b_{n}\)，证明：当\(n\geqslant 2\)时，\( \dfrac {n}{n+1} < S_{n} < \dfrac {5}{3}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} +1\}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)满足\(S _{n} =3a _{n}\)，\(n∈N ^{*}\)．
\((1)\)求证数列\(\{a _{n} +1\}\)为等比数列，并求\(a _{n}\)关于\(n\)的表达式；
\((2)\)若\(b_{n}=\log _{ \frac {3}{2}}(a_{n}+1)\)，求数列\(\{(a _{n} +1)b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
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年份：2020

已知公差非零的等差数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n} (n∈N*)\)，且\(a _{1}\)，\(a _{2}\)，\(a _{4}\)成等比数列，且\(S _{4} =10\)，数列\(\{b _{n} \}\)满足\(b _{1} =2\)，\(b_{n}-b_{n-1}=2^{n-1}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)设数列\(\{c _{n} \}\)满足\(c_{n}= \dfrac {\ln a_{n}}{b_{n}},(n∈N^{+})\)，求证：\((1- \dfrac {1}{2^{n-1}} )\boldsymbol{⋅}\ln \sqrt {2} \leqslant c _{2} +…+c _{n} < \dfrac {3}{4}\)，\((n∈N ^{*} , n\geqslant 2)\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\( \sqrt {a_{n}}- \sqrt {a_{n+1}}= \sqrt {a_{n}\cdot a_{n+1}}(n∈N^{*})\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\{ \sqrt { \dfrac {1}{a_{n}}}\}\)为等差数列，并求\(a _{n}\)；
\((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \sqrt {1+2a_{n+1}}\)，数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，求证：\(S_{n} < n+1- \dfrac {1}{n+1}\)．

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