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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)中，\(a _{1} > 0\)，且\(a_{n+1}= \sqrt { \dfrac {3+a_{n}}{2}}\)．
\((\)Ⅰ\()\)若数列\(\{a _{n} \}\)为单调递增数列，试求\(a _{1}\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)若\(a _{1} =4\)，设\(b _{n} =|a _{n+1} -a _{n} |(n=1 , 2 , 3…)\)，数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项的和为\(S _{n}\)，求证：\(b_{1}+b_{2}+…+b_{n} < \dfrac {5}{2}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)满足：\(b _{3} -b _{2} =3a _{1} =6\)，\(a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}=( \sqrt {2})^{b_{n}}(n∈N^{*})\)且数列\(\{ \dfrac {b_{n}}{n}\}\)为等差数列．设\(c _{n} = \dfrac {(-1)^{n}}{a_{n}}+ \dfrac {1}{b_{n}}\)，数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a _{n} \}\)与\(\{b _{n} \}\)的通项公式：
\((\)Ⅱ\()\)若对于任意\(n∈N*\)均有\(S _{k} \leqslant S _{n}\)，求正整数\(k\)的值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，已知\(a _{1} =2\)，\(6S _{n} =3na _{n+1} -2n(n+1)(n+2)\)，\(n∈N*\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)证明：\( \dfrac {1}{a_{1}}+ \dfrac {1}{a_{2}}+…+ \dfrac {1}{a_{n}} < \dfrac {5}{6}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

等差数列\(\{a _{n} \}\)和等比数列\(\{b _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} +…+a _{n} b _{n} =(n-1)\boldsymbol{⋅}2 ^{n+1} +2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{c _{n} \}\)满足：\(b _{n} c _{n} =a _{n} +c _{n}\)，求证：\(c _{1} +c _{2} +…+c _{n} < 3\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)满足\(S _{n+1} =2S _{n} +n+1\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)记数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，证明：\(T_{n} < \dfrac {5}{3}\)．

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年份：2020

已知正项等差数列\(\{a _{n} \}\)与等比数列\(\{b _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(b _{2} =4\)，且\(a _{2}\)既是\(a _{1} +b _{1}\)和\(b _{3} -a _{3}\)的等差中项，又是其等比中项．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)记\(c _{n} = \begin{cases} { \dfrac {1}{a_{n}a_{n+2}},n=2k+1} \\ {a_{n}\cdot b_{n},n=2k}\end{cases}\)，其中\(k∈N*\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(2n\)项和\(S _{2n}\)．

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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} +1\}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)满足\(S _{n} =3a _{n}\)，\(n∈N ^{*}\)．
\((1)\)求证数列\(\{a _{n} +1\}\)为等比数列，并求\(a _{n}\)关于\(n\)的表达式；
\((2)\)若\(b_{n}=\log _{ \frac {3}{2}}(a_{n}+1)\)，求数列\(\{(a _{n} +1)b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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年份：2020

数列\(\{a _{n} \}\)是等差数列，\(S _{n}\)为其前\(n\)项和，且\(a _{5} =3a _{2}\)，\(S _{7} =14a _{2} +7\)，数列\(\{b _{n} \}\)前\(n\)项和为\(T _{n}\)，且满足\(3b _{n} =2T _{n} +3\)，\(n∈N*\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{ \dfrac {a_{n}}{b_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\(R _{n}\)，求\(R _{n}\)．

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年份：2020

已知公差不为\(0\)的等差数列\(\{a _{n} \}\)满足：\(a _{1} =1\)，\(a _{2}\)，\(a _{4}\)，\(a _{8}\)成等比数列，数列\(\{b _{n} \}\)满足：\(b _{1} =1\)，\(b _{n+1} = \dfrac {(b_{n}+n)b_{n}}{n}\)，
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)记数列\(c _{n} = \dfrac {1}{b_{n}+a_{n}}\)，数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，证明：\( \dfrac {1}{2}\leqslant T_{n} < 1\)．

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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)中，\(a _{1} =6\)，\(a_{n+1}= \dfrac {1}{3} a_{ n }^{ 2 }-a_{n}+3 (n∈N ^{*} ).\)
\((1)\)分别比较下列每组中两数的大小：①\(a _{2}\)和\(6× \dfrac {3}{2}\)；②\(a _{3}\)和\(6×( \dfrac {3}{2})^{3}\)；
\((2)\)当\(n\geqslant 3\)时，证明：\( \sum\limits_{i=2}^{n}( \dfrac {a_{i}}{6})^{ \frac {2}{i}} > 2( \dfrac {3}{2})^{n}-3\)．

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