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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

设数列\(\{a _{n} \}\)满足：\(a _{1} =1\)，\(3a _{n+1} -a _{n} +4=0\)，\(n∈N*\)．
\((1)\)求证：数列\(\{a _{n} +2\}\)为等比数列，并求出\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)若\(b _{n} =a _{n} +\log _{3} (a _{n} +2)\)，求数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(2S_{n}=n^{2}+n (n∈N ^{*} )\)，数列\(\{b _{n} \}\)为等比数列，且\(b _{2} =a _{4}\)，\(b _{1} +b _{3} =S _{4}\)．
\((1)\)求\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{b _{n} \}\)为递增数列，设\(c_{n}=(-1)^{n}a_{n}\cdot b_{n}\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)是等差数列，且满足\(a _{6} =6+a _{3}\)，\(a _{6} -1\)是\(a _{5} -1\)与\(a _{8} -1\)的等比中项．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)已知数列\(\{b _{n} \}\)满足\(b _{n} =2 ^{n} \boldsymbol{⋅}a _{n}\)，求数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)满足\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，\(a _{n+1} =a _{n} (a _{n} +1)\)，\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}+1}\)，\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，前\(n\)项积为\(T _{n}\)．
\((1)\)证明：\(S _{n} +2T _{n}\)是定值；
\((2)\)试比较\(S _{n}\)与\(T _{n}\)的大小．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)中，\(a _{1} =1\)，其前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且满足\(a _{n} +2S _{n} S _{n-1} =0(n\geqslant 2)\)．
\((1)\)求证：数列\(\{ \dfrac {1}{S_{n}}\}\)是等差数列；
\((2)\)记\(b_{n}= \dfrac {1}{2n+1}S_{n}\)，求数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且满足\(2S_{n}+a_{n}-n=0(n∈N^{*})\)．
\((1)\)求证：数列\(\{a_{n}- \dfrac {1}{2}\}\)为等比数列；
\((2)\)求数列\(\{a _{n} -n\}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)满足\(a _{1} =b _{1} =1\)，对任意\(n∈N*\)均有\(a_{n+1}=a_{n}+b_{n}+ \sqrt { a_{ n }^{ 2 }+ b_{ n }^{ 2 }}\)，\(b_{n+1}=a_{n}+b_{n}- \sqrt { a_{ n }^{ 2 }+ b_{ n }^{ 2 }}\)，
\((1)\)证明：数列\(\{a _{n} +b _{n} \}\)和数列\(\{a _{n} \boldsymbol{⋅}b _{n} \}\)均为等比数列；
\((2)\)设\(c_{n}=(n+1)\cdot 2^{n}\cdot ( \dfrac {1}{a_{n}}+ \dfrac {1}{b_{n}})\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

设\(\{a _{n} \}\)是等差数列，\(\{b _{n} \}\)是等比数列．已知\(a _{1} =1\)，\(b _{1} =2\)，\(b _{2} =2a _{2}\)，\(b _{3} =2a _{3} +2\)．
\((1)\)求\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)数列\(\{c _{n} \}\)满足\(c _{n} = \begin{cases} {1,n=2^{k}} \\ {a_{n},n\neq 2^{k}}\end{cases} (k∈N)\)，设数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，求\(S _{2^{n}}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)是首项为\(1\)的等差数列，数列\(\{b _{n} \}\)是公比不为\(1\)的等比数列，且满足\(a _{1} +a _{2} =b _{2}\)，\(a _{2} +a _{3} =b _{3}\)，\(a _{4} +a _{5} =b _{4}\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)令\(c_{n}= \dfrac {a_{n+2}b_{n+2}}{(a_{n}b_{n}+1)(a_{n+1}b_{n+1}+1)}(n∈N^{*})\)，记数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，求证：对任意的\(n∈N*\)，都有\(1 < S_{n} < \dfrac {4}{3}\)；
\((3)\)若数列\(\{d _{n} \}\)满足\(d _{1} =1\)，\(d _{n} +d _{n+1} =b _{n}\)，记\(T_{n}= \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac {d_{k}}{b_{2k}}\)，是否存在整数\(λ\)，使得对任意的\(n∈N*\)都有\(1\leqslant λT_{n}- \dfrac {d_{n}}{b_{2n}} < 2\)成立？若存在，求出\(λ\)的值；若不存在，说明理由．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
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年份：2020

已知等比数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(a _{1} =m\)，\(a _{n+1} =S _{n} +1(n∈N ^{*} ).\)
\((1)\)求实数\(m\)的值和数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b _{n} = \begin{cases} {a_{n}(n\text{为奇数})} \\ {\log _{2}a_{n}(n\text{为偶数})}\end{cases}(n∈N^{*})\)，求数列\(\{b _{n} \}\)的前\(2n\)项和\(T _{2n}\)．

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