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题型：填空题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知\(a∈R\)，函数\(f(x)= \begin{cases} {a+ \dfrac {1}{x},x > 0} \\ {e^{-x},x < 0}\end{cases}\)，若存在三个互不相等的实数\(x _{1}\)，\(x _{2}\)，\(x _{3}\)，使得\( \dfrac {f(x_{1})}{x_{1}} = \dfrac {f(x_{2})}{x_{2}} = \dfrac {f(x_{3})}{x_{3}} =-e\)成立，则\(a\)的取值范围是______．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)满足：\(a _{1} + \dfrac {1}{2}a_{2}+ \dfrac {1}{3}a_{3}+…+ \dfrac {1}{n}a_{n}= \dfrac {n^{2}+n}{2}(n∈N^{*})\)，数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项的和为\(S _{n}\)，\(S _{n} =2b _{n} -2\)，\(n∈N*\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{a _{n} \boldsymbol{⋅}b _{n} \}\)的前\(n\)项和；
\((3)\)记\(c _{k} =b _{k} \boldsymbol{⋅}(b _{k} +b _{k+1} +…+b _{n} )(1\leqslant k\leqslant n)\)，数列\(\{c _{k} \}(1\leqslant k\leqslant n)\)的前\(n\)项的和为\(T _{n}\)，求证：\( \dfrac {2}{T_{1}} + \dfrac {2^{2}}{T_{2}} +…+ \dfrac {2^{n}}{T_{n}} < \dfrac {3}{4}\)．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知函数\(f(x)=x ^{2} +x|x-2a|\)，其中\(a\)为实数．
\((\)Ⅰ\()\)当\(a=-1\)时，求函数\(f(x)\)的最小值；，
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\)在\([-1 , 1]\)上为增函数，求实数\(a\)的取值范围；
\((\)Ⅲ\()\)对于给定的负数\(a\)，若存在两个不相等的实数\(x _{1}\)，\(x _{2} (x _{1} < x _{2}\)且\(x _{2} \neq 0)\)使得\(f(x _{1} )=f(x _{2} )\)，求\( \dfrac {x_{1}}{x_{2}}+x_{1}\)的取值范围．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

数列\(\{a _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(na _{n+1} =(n+1)a _{n} +n(n+1)\)，\(n∈N*\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=3^{n}\cdot \sqrt {a_{n}}\)，求数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知函数\(f(x)=x ^{2} -4x+1\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(x∈[0 , 3]\)时，画出函数\(y=f(x)\)的图象并写出值域；
\((\)Ⅱ\()\)若函数\(y=f(x)\)在区间\([a , a+1]\)上单调，求\(a\)的取值范围．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知等差数列\(\{a _{n} \}\)的首项\(a _{1} =1\)，公差\(d=1\)，前\(n\)项和为\(S _{n}\)，\(b_{n}= \dfrac {1}{S_{n}}\)，
\((1)\)求数列\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)求证：\(b _{1} +b _{2} +…+b _{n} < 2\)．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

设\(D\)是函数\(y=f(x)\)定义域的一个子集，若存在\(x _{0} ∈D\)，使得\(f(x _{0} )=-x _{0}\)成立，则称\(x _{0}\)是\(f(x)\)的一个“准不动点”，也称\(f(x)\)在区间\(D\)上存在准不动点．已知\(f(x)=\log _{ \frac {1}{2}}(4^{x}+a\cdot 2^{x}-1),x∈[0,1]\)．
\((1)\)若\(a=1\)，求函数\(f(x)\)的准不动点；
\((2)\)若函数\(f(x)\)在区间\([0 , 1]\)上存在准不动点，求实数\(a\)的取值范围．

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题型：选择题题类：期中考试难易度：较难
新测
年份：2020

已知函数\(f(x)=x ^{2} \boldsymbol{⋅}\sin x\)，各项均不相等的数列\(\{x _{n} \}\)满足\(|x _{i} |\leqslant \dfrac {π}{2} (i=1 , 2 , 3 , … , n).\)令\(F(n)=(x _{1} +x _{2} +…+x _{n} )\boldsymbol{⋅}[f(x _{1} )+f(x _{2} )+…+f(x _{n} )](n∈N ^{*} ).\)给出下列三个命题：
\((1)\)存在不少于\(3\)项的数列\(\{x _{n} \}\)，使得\(F(n)=0\)；
\((2)\)若数列\(\{x _{n} \}\)的通项公式为\(x_{n}=(- \dfrac {1}{2})^{n}(n∈N^{*})\)，则\(F(2k) > 0\)对\(k∈N ^{*}\)恒成立；
\((3)\)若数列\(\{x _{n} \}\)是等差数列，则\(F(n)\geqslant 0\)对\(n∈N ^{*}\)恒成立．
其中真命题的序号是\((\:\:\:\:)\)

A.\((1)(2)\) B.\((1)(3)\) C.\((2)(3)\) D.\((1)(2)(3)\)

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题型：填空题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知等差数列\(\{a _{n} \}\)满足：\(a _{1} < 0\)，\(a _{100} \geqslant 74\)，\(a _{200} < 200\)，且该数列在区间\(( \dfrac {1}{2} , 8)\)中的项比在区间\([14 , \dfrac {43}{2} ]\)中的项少\(2\)，则\(\{a _{n} \}\)的通项公式为______．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：较难
新
年份：2020

已知函数\(f(x)=ax ^{2} +bx+c\)．
\((1)\)当\(a=1\)，\(b=2\)时，若存在\(x _{1}\)，\(x _{2} ∈[-2 , 0](x _{1} \neq x _{2} )\)，使得\(|f(x _{i} )|=2(i=1 , 2)\)，求实数\(c\)的取值范围；
\((2)\)若二次函数\(y=f(x)\)对一切\(x∈R\)恒有\(x ^{2} -2x+4\leqslant f(x)\leqslant 2x ^{2} -4x+5\)成立，且\(f(5)=27\)，求\(f(11)\)的值；
\((3)\)是否存在一个二次函数\(f(x)\)，使得对任意正整数\(k\)，当\(x= \overset{}{k\text{个}5}\)时，都有\(f(x)= \overset{}{2k\text{个}5}\)成立，请给出结论，并加以证明．

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