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已知等差数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且满足\({{S}_{4}}=24,{{S}_{7}}=63\)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；  \((\)Ⅱ\()\)若\({{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}+{{a}_{n}}\)，求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

在等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}+{{a}_{6}}=-17\)，\({{a}_{2}}+{{a}_{7}}=-23\)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\left\{ 2{{a}_{n}}+{{b}_{n}} \right\}\)是首项为\(1\)，公比为\(q\)的等比数列，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

\((2)\)设\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，用数学归纳法证明：\({{S}_{n}} < \dfrac{1}{2}{{(n+1)}^{2}}\)．

已知数列\(\{a_{n}\}\)是公差为\(2\)的等差数列，它的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a\)\({\,\!}_{1}\)\(+1\)，\(a\)\({\,\!}_{3}\)\(+1\)，\(a\)\({\,\!}_{7}\)\(+1\)成等比数列。

\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式。

\((2)\)求数列\(\left\{ \left. \dfrac{1}{S_{n}} \right. \right\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)。

在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{1}}=8\)，\({{a}_{4}}=2\)，且满足\({{a}_{n+2}}+{{a}_{n}}=2{{a}_{n+1}}\)．

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；  \((2)\)设\({{S}_{n}}\)是数列\(\left\{ \left| {{a}_{n}} \right| \right\}\)的前\(n\)项和，求\({{S}_{n}}\)．

已知等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足：\({{a}_{3}}=7,{{a}_{5}}+{{a}_{7}}=26\)，\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)．

\((1)\)求\({{a}_{n}}\)及\({{S}_{n}}\)；

\((2)\)令\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{a_{n}^{2}-1}\left( n\in {{N}^{{*}}} \right)\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．