题型：解答题 题类：其他 难易度：较难
年份：2018
已知数集列\(\{1\}\)，\(\{3,5\}\)，\(\{7,9.11\}\)，\(\{13,15,17,19\}\)，\(…\)，其中第\(n\)个集合有\(n\)个元素，每一个集合都由连续的正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数构成连续奇数．
\((1)\)求第\(n\)个集合中各数之和\(S_{n}\)的表达式；
\((2)\)设\(n\)是不小于\(2\)的正整数，\(f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{S}_{i}}}}}\)，求证：\(n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}{f}(i)=nf(n)\)．
题型：解答题 题类：其他 难易度：较难
年份：2018
已知数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和分别为\(A_{n}\)和\(B_{n}\)，且对任意\(n∈N^{*}\)，\(a_{n+1}-a_{n}=2(b_{n+1}-b_{n})\)恒成立．
\((1)\) 若\(A_{n}=n^{2}\)，\(b_{1}=2\)，求\(B_{n};\)
\((2)\) 若对任意\(n∈N^{*}\)，都有\(a_{n}=B_{n}\)及\(\dfrac{b_{2}}{a_{1}a_{2}}+\dfrac{b_{3}}{a_{2}a_{3}}+\dfrac{b_{4}}{a_{3}a_{4}}+…+\dfrac{b_{n{+}1}}{a_{n}a_{n{+}1}} < \dfrac{1}{3}\)成立，求正实数\(b_{1}\)的取值范围．
题型：解答题 题类：其他 难易度：较难
年份：2018
已知公差不为\(0\)的等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，满足\({{S}_{3}}={{a}_{4}}+4\)，且\({{a}_{2}},{{a}_{6}},{{a}_{18}}\)成等比数列．
\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；
\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；
\((3)\)设\({{c}_{n}}=\sqrt{{{S}_{n}}+t}\)，若\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)为等差数列，求实数\(t\)的值．
题型：解答题 题类：其他 难易度：较难
年份：2018
设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)和为\({{S}_{n}}\)，\({{a}_{1}}=1,{{S}_{n}}=n{{a}_{n}}-2{{n}^{2}}+2n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\)．
\((1)\)求证：数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)为等差数列，并分别写出\({{a}_{n}}\)和\({{S}_{n}}\)关于\(n\)的表达式\(;\)
\((2)\)是否存在自然数\(n\)，使得\({{S}_{1}}+\dfrac{{{S}_{2}}}{2}+\dfrac{{{S}_{3}}}{3}+...+\dfrac{{{S}_{n}}}{n}+{{2}^{n}}=1124\)？若存在，求出\(n\)的值\(;\)若不存在，请说明理由\(;\)
\((3)\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{2}{n\left( {{a}_{n}}+7 \right)}\left( n\in {{N}^{*}} \right),{{T}_{n}}={{c}_{1}}+{{c}_{2}}+{{c}_{3}}+...+{{c}_{n}}\left( n\in {{N}^{*}} \right)\) ，若不等式\({{T}_{n}} > \dfrac{m}{32}\left( m\in Z \right)\) ，对\(n\in {{N}^{*}}\)恒成立，求\(m\)的最大值．
